Задачи с решениями

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( \dfrac{7\pi }{3} \).

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( 750{}^\circ \).

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( -225{}^\circ \).

Точка \( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 2 \). Необходимо найти координаты точки \( P \), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( -30{}^\circ \).

\( A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 3 \). Необходимо найти координаты точки \( P \), полученной поворотом начального радиус-вектора на \( P \).

Найдите \( \sin \alpha \) и \( tg \alpha \), если \( \cos \alpha=-\dfrac12 \) и \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \);

Найдите \( \cos \alpha \) и \( ctg \alpha \), если \( \sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2} \) и \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Пусть даны векторы \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \). Построить вектор \( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \).

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Доказать, что \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1} \)

Пусть \( \overrightarrow{a}=\left\{3,\ 4,2\right\} \), \( \overrightarrow{b}=\{2,\ -1,0\} \). Найти \( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \) и \( 3\overrightarrow{a} \).

Дан ромб с диагоналями \(d1=5\) см и \(d2=4\). Найти площадь ромба.

Дан ромб, диагонали которого равны \(d1=4\) см, \(d2=6\) см. Острый угол равен \(α = 30°\). Найдите площадь фигуры через сторону и угол.

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см²) площадь трапеции.

Площадь ромба равна \( 10.8 \) см², а площадь круга, вписанного в этот ромб — \( 2.25\pi \) см².

1. Определите длину радиуса круга, вписанного в ромб (в см).

2. Вычислить длину стороны ромба (в см).

Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности радиуса \(R\) (рисунок \(2\)). При каком угле при основании \(\alpha\) площадь заштрихованной области будет наименьшей?

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок \(3\)). Периметр окна равен \(P.\) Определить радиус полукруга \(R,\) при котором площадь окна является наибольшей.

В область, ограниченную параболой \(y = c - {x^2}\) и осью \(Ox,\) вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси \(Ox.\) Определить наибольшую площадь прямоугольника.