Математика
8 класс
Задача
В область, ограниченную параболой \(y = c - {x^2}\) и осью \(Ox,\) вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси \(Ox.\) Определить наибольшую площадь прямоугольника.
Решение
Пусть \(M\left( {x,y} \right)\) − вершина прямоугольника, принадлежащая параболе (рисунок \(4\)). Длины сторон такого прямоугольника равны \(2x\) и \(y.\)
Его площадь составляет
\[
{S\left( x \right) = 2xy }
= {2x\left( {c - {x^2}} \right) }
= {2cx - 2{x^3}.}
\]
Исследуем функцию \(S\left( x \right)\) на экстремум. Производная записывается в виде
\[S'\left( x \right) = {\left( {2cx - 2{x^3}} \right)^\prime } = 2c - 6{x^2}.\]
Приравнивая производную нулю, находим стационарные точки:
\[
{S'\left( x \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow 2c - 6{x^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {x^2} = \frac{c}{3},}\;\;
{\Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{c}{3}}.}
\]
Очевидно, что оба корня соответствуют одному и тому же прямоугольнику. Убедимся, что точка \(\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize} \)
является точкой максимума функции \(S\left( x \right).\) Проверим это с помощью второй производной:
\[S''\left( x \right) = {\left( {2c - 6{x^2}} \right)^\prime } = - 12x < 0.\]
Поскольку \(S''\left( x \right) < 0,\) то \(\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize} \) является точкой максимума.
Вычислим наибольшую площадь вписанного прямоугольника: \[ {{S_{\max }} = 2\sqrt {\frac{c}{3}} \left[ {c - {{\left( {\sqrt {\frac{c}{3}} } \right)}^2}} \right] } = {2\sqrt {\frac{c}{3}} \cdot \frac{{2c}}{3} } = {4\sqrt {{{\left( {\frac{c}{3}} \right)}^3}}.} \]
Вычислим наибольшую площадь вписанного прямоугольника: \[ {{S_{\max }} = 2\sqrt {\frac{c}{3}} \left[ {c - {{\left( {\sqrt {\frac{c}{3}} } \right)}^2}} \right] } = {2\sqrt {\frac{c}{3}} \cdot \frac{{2c}}{3} } = {4\sqrt {{{\left( {\frac{c}{3}} \right)}^3}}.} \]