Используя правило дифференцирования произведения, получим: \[ f'(x) = \left( (5x-3) \cdot 2^{x} \right)' = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)' \]

Далее воспользуемся таблицей производных для степенной и показательной функций, а также правилом дифференцирования разности:

\[ f'(x) = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)' = (5 \cdot 1 - 0) \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2 = \] \[ = 5 \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2 \]