Производная суммы равна сумме производных и вынесем константу во втором слагаемом: \[ f'(x) = \left( \text{arctg } x + 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + \left( 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)' \]

Далее используя таблицу производных, получим:

\[ f'(x) = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{2}{x} \]