10 класс
Задача

Найти производную функции $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \cdot e^{x}} $

Решение

Представим заданную функцию в виде степени с отрицательным показателем, то есть: \[ f(x) = \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1} \] По правилу дифференцирования сложной функции, сначала возьмем производную от исходной функции, как от степенной: \[ f'(x) = \left( \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1} \right)' = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' \] Далее учитывая правило дифференцирования произведения двух функций, получим: \[ f'(x) = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = -\frac{1}{\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} \] Найдем необходимые производные, используя таблицу производных: \[ f'(x) = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} \] Преобразовывая полученное выражение, окончательно получим \[ f'(x) = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{e^{x}+ 2x \cdot e^{x}}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} =- \frac{e^{x}(2x+1)}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} = -\frac{2x+1}{2x \sqrt{x} \cdot e^{x}} \]

Ответ

\[ f'(x) = -\frac{2x+1}{2x \sqrt{x} \cdot e^{x}} \]

10 класс Алгебра Средняя 649
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!