Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

Четность, нечетность тригонометрических функций

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой , а отношение — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , .

Например: является справедливой для углов , которые отличны от , а — для угла , отличного от , — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

Данное тождество справедливо только для таких углов , которые отличны от . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что , а . Отсюда следует, что . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

— сумма квадрата тангенса угла и , отличных от .

— сумма , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого , отличного от .

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Пример 1
Задача

Найдите и , если и ;

Решение

Функции и связывает формула . Подставив в эту формулу , получим:

Это уравнение имеет 2 решения:

По условию . Во второй четверти синус положителен, поэтому .

Для того, чтобы найти , воспользуемся формулой . Соответствующие величины нам известны.

Ответ

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 2
Задача

Найдите и , если и .

Решение

Подставив в формулу данное по условию число , получаем . Это уравнение имеет два решения .

По условию . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому .

Для того, чтобы найти , воспользуемся формулой . Соответствующие величины нам известны.

Ответ

.

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи