Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Геометрическое определение синуса и косинуса

,

α - угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AB|.
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол

Абсцисса точки 0 равна 1, ордината точки 0 равна 0. Следовательно,

cos 0 = 1   sin 0 = 0

Нулевой угол
Рис 4. Нулевой угол
Угол

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.
Угол π/6
Рис 5. Угол π / 6
Угол

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

откуда . Следовательно,

Угол π/4
Рис 5. Угол π / 4

Свойства синуса и косинуса

Принятые обозначения

.

.

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

Убывание
Максимумы,
Минимумы,
Нули,
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

Формулы синуса и косинуса суммы и разности






;
;

Формулы произведения синусов и косинусов





Формулы суммы и разности




Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что – целое число.

.

Выражение косинуса через синус

.

Выражение через тангенс

.

При .

При :
.

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблица синусов и косинусов" title="Таблица синусов и косинусов" ]

Выражения через комплексные переменные


Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции


Производные

. Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
.

Интегралы


См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды


Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin



Арккосинус, arccos



Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи