• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Синус (sin x) и косинус (cos x) — свойства, графики, формулы

Геометрическое определение синуса и косинуса

Тригонометрическое определение

Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол $\LARGE 0^{\circ }$

Абсцисса точки 0 равна 1, ордината точки 0 равна 0. Следовательно,

cos 0 = 1   sin 0 = 0

Рис 4. Нулевой угол

Угол $\LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ }$

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы¹; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

$$\sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$$

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

$$\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{3} }{2}$$

¹ Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.

Рис 5. Угол π / 6

Угол $\LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ }$

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

$$x^{2} + x^{2} = 1$$

откуда $x=\frac{\sqrt{2} }{2}$. Следовательно,

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2} }{2}$$

Рис 5. Угол π / 4

Свойства синуса и косинуса

Принятые обозначения

$\sin^2 x \equiv (\sin x)^2;$$\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3;$$\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n$$\sin^{-1} x \equiv \arcsin x$$(\sin x )^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x$.

$\cos^2 x \equiv (\cos x)^2;$$\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3;$$\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n$$\cos^{-1} x \equiv \arccos x$$(\cos x )^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x$.

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

$\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad$$\cos(x + 2\pi) = \cos x$

Четность

Функция синус — нечетная. Функция косинус — четная.

$\sin( -x ) = - \sin x; \quad$$\cos( -x ) = \cos x$

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$
$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

Формулы произведения синусов и косинусов

$\sin x \cos y =$$\dfrac12 {\Large [} \sin( x - y ) + \sin( x + y ) {\Large ]}$
$\sin x \sin y =$$\dfrac12 {\Large [} \cos( x - y ) - \cos( x + y ) {\Large ]}$
$\cos x \cos y =$$\dfrac12 {\Large [} \cos( x - y ) + \cos( x + y ) {\Large ]}$

Формулы суммы и разности

$\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2$
$\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2$
$\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2$
$\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2$

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что $n$ — целое число.

$\sin x = \cos\left( \dfrac{\pi}2 - x \right) =$$\cos\left( x - \dfrac{\pi}2 \right) = - \cos\left( x + \dfrac{\pi}2 \right)$$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$ $\{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \}$$\sin x = - \sqrt{1 - \cos^2 x}$ $\{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \}$.

Выражение косинуса через синус

$\cos x = \sin\left( \dfrac{\pi}2 - x \right) =$$- \sin\left( x - \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left( x + \dfrac{\pi}2 \right)$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$ $\{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \}$$\cos x = - \sqrt{1 - \sin^2 x}$ $\{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \}$.

Выражение через тангенс

$\sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x}$$\cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x}$.

При $- \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n$$\sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} }$$\cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} }$.

При $\dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n$ :
$\sin x = - \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} }$$\cos x = - \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} }$.

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблица синусов и косинусов" title="Таблица синусов и косинусов" ]

Выражения через комплексные переменные

$i^2 = -1$
$\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

Формула Эйлера

$e^{iz} = \cos z + i \sin z$

Выражения через гиперболические функции

$\sin iz = i \sh z$$\cos iz = \ch z$
$\sh iz = i \sin z$$\ch iz = \cos z$

Производные

$( \sin x )' = \cos x$$( \cos x )' = - \sin x$. Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
$\left( \sin x \right)^{(n)} = \sin\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right)$$\left( \cos x \right)^{(n)} = \cos\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right)$.

Интегралы

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } =$$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ...$ $\{- \infty < x < \infty \}$
$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } =$$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ...$ $\{ - \infty < x < \infty \}$

Секанс, косеканс

$\sec x = \dfrac1{ \cos x } ;$ $\cosec x = \dfrac1{ \sin x }$

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

$y = \arcsin x$ $\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\}$
$\sin( \arcsin x ) = x$ $\{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \}$
$\arcsin( \sin x ) = x$ $\left\{ - \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\}$

Арккосинус, arccos

$y = \arccos x$ $\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\}$
$\cos( \arccos x ) = x$ $\{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \}$
$\arccos( \cos x ) = x$ $\{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \}$

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.