Главная
Справочник
Тригонометрия
Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Графический метод запоминания
Доказательство тригонометрической формулы для острого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике обозначим один острый угол буквой $\alpha$ :

стороны $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
сторона $c$ - гипотенуза прямоугольного треугольника.

С указанными выше обозначениями у нас есть следующие определения тригонометрических функций:

$\sin{\alpha }=\frac{a}{c} \qquad \cos{\alpha }=\frac{b}{c} \qquad \text{tg}{\alpha}=\frac{a}{b} \qquad \text{ctg}{\alpha }=\frac{b}{a}$

или словами:

$\sin{\alpha }=\frac{ \text{противолежащий катет a} }{ \text{гипотенуза c} }$

$\cos{\alpha }=\frac{ \text{прилежащий катет b} }{ \text{гипотенуза c} }$

$\text{tg}{\alpha}=\frac{ \text{противолежащий катет a} }{ \text{прилежащий катет b} }$

$\text{ctg}{\alpha }=\frac{ \text{прилежащий катет b} }{ \text{противолежащий катет a} }$

Графический метод запоминания

Чтобы вычислить синус острого угла в прямоугольном треугольнике:

смотрим сначала в сторону, противоположную углу,
затем к гипотенузе.

Чтобы вычислить косинус острого угла в прямоугольном треугольнике:

сначала смотрим на основание прямоугольника,
затем к гипотенузе.

Чтобы вычислить тангенс острого угла прямоугольного треугольника:

смотрим сначала в сторону, противоположную углу,
затем к основанию треугольника.

Чтобы вычислить котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике:

сначала смотрим на основание прямоугольника,
затем в сторону, противоположную углу.

Доказательство тригонометрической формулы для острого угла в прямоугольном треугольнике

Возьмем любой прямоугольный треугольник и отметим в нем острый угол $\alpha$ .

По определению тригонометрических функций мы знаем, что:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{и}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}$ Следовательно:

$\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$ Из теоремы Пифагора мы знаем, что:

$a^2+b^2=c^2$ Следовательно:

$\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1$

По определению тригонометрических функций мы знаем, что:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{и}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{и}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{и}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}$ Следовательно:

$\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$ и:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha$ а также:

$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha.$

Когда мы знаем значение хотя бы одной тригонометрической функции, то с помощью приведенные выше формулы мы можем рассчитать значения всех остальных тригонометрических функций.

Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория 8 класс

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла $\alpha$ .

Непосредственно из рисунка мы читаем, что:

$\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{4}{5}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{3}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{4}{3}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{3}{4} \end{split}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла $\beta$ .

Из данного рисунка мы читаем, что:

$\begin{split} &\\&\sin{\beta}=\frac{3}{5}\qquad \qquad &\cos{\beta}=\frac{4}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\beta}=\frac{3}{4}\qquad \qquad &\text{ctg}{\beta}=\frac{4}{3} \end{split}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вывести значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ выделенного на рисунке.

Непосредственно из рисунка мы читаем, что:

$\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{51}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{51}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{7}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{2}} \end{split}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вычислить значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ выделенного на рисунке.

Сначала мы должны вычислить длину гипотенузы

$AB$ . Мы используем теорему Пифагора:

$\begin{split} |AB|^2&=1^2+3^2\\|AB|^2&=1+9\\|AB|^2&=10\\|AB|&=\sqrt{10} \end{split}$ Затем:

$\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{10}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{3}{1}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{1}{3} \end{split}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вычислить $\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\sin \alpha =\frac{2}{5}$ .

Мы используем тригонометрические формулы:

$\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}$ Теперь мы вычисляем тангенс:

$\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$ Теперь мы вычисляем котангенс:

$\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вычислить $\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ .

Мы используем тригонометрические формулы:

$\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}$ Теперь мы вычисляем тангенс:

$\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}$ Теперь мы вычисляем котангенс:

$\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория • 8 класс

Вычислить $\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\operatorname{tg} \alpha =7$ .

Проще всего вычислить котангенс:

$\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}$

Теперь мы воспользуемся формулой для тангенса и составим систему уравнений с двумя неизвестными. Эти неизвестные, конечно, будут искать $\sin \alpha \text{ и }\cos \alpha$ .

$\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}$ Z pierwszego równania możemy wyliczyć np.

$\sin \alpha$ :

$\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}$

Теперь мы можем заменить синус на тригонометрическую единицу. В результате мы получим уравнение с одним неизвестным ( $\cos \alpha$ ):

$\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}$

Теперь мы вычислим синус, используя ранее обозначенную формулу:

$\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$

Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Читать по теме

Меры углов
Для измерения углов используются градусы или радианы.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Соотношения между тригонометрическими функциями
Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Периодичность тригонометрических функций
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π. Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Четность и нечетность тригонометрических функций
Четной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной. Нечетной называется функция, которая меняет свое значение при изменении знака независимой переменной.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Тригонометрические функции суммы и разности углов
Тригонометрические функции суммы и разности углов
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Геометрия Теория
Тригонометрические функции двойного, половинного и тройного аргументов
Тригонометрические функции двойного, половинного и тройного аргументов
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Геометрия Теория
Соотношения между обратными тригонометрическими функциями
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Свойства обратных тригонометрических функций
Названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория

Интересные статьи

Четырёхугольник
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Фигуры Математика Формулы Геометрия Теория Фигуры
Сколько весит воздух?
Воздух — это смесь газов, и которых состоит атмосфера нашей планеты Земля. Воздух состоит из азота (около 80% объема) , кислорода, благородных газов, даже углекислого газа.
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Закон Кулона
Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Законы Формулы Физика Теория Электричество Закон
Сколько битов в байте, Кб, Мб, Гб и Тб
Разное Единицы измерения Справочник
Классификация операционных систем
Операционные системы Информатика
Сколько должен весить человек?
Чтобы узнать вес человека, достаточно знать его рост в сантиметрах, из этой цифры вычесть 100, а к полученному числу либо прибавить 10, если речь идет о мужчине, либо отнять 10, если вычисляется вес женщины.
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Переводчик азбуки Морзе онлайн
Азбука Морзе - перечень сигналов из точек и тире, воспроизводящихся с помощью радиосигналов или прерыванием постоянного электрического тока.
Работа с текстом Инструмент Текст
Таблица мер измерения
Таблицы