Рис.11
Рассмотрим осевое сечение вписанного в шар конуса (рисунок \(11\)). Введем следующие обозначения:
\(H\) − высота конуса, \(r\) − радиус основания конуса, \(\alpha\) − угол между радиусом и основанием конуса.
Радиус основания и высота конуса связаны с радиусом шара следующими соотношениями:
\[r = R\cos \alpha ,\;\;\;H = R\sin \alpha + R.\]
В таком случае объем конуса можно представить в виде
\[
{V = \frac{1}{3}\pi {r^2}H }
= {\frac{1}{3}\pi {\left( {R\cos \alpha } \right)^2}\left( {R\sin \alpha + R} \right) }
= {\frac{1}{3}\pi {R^3}{\cos ^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right).}
\]
где угол \(\alpha\) изменяется в интервале \(0 < \alpha < \large\frac{\pi }{2}\normalsize.\)
Дифференцируем объем \(V\) по переменной \(\alpha:\)
\[
{V'\left( \alpha \right) }
= {{\left[ {\frac{1}{3}\pi {R^3}{{\cos }^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right)} \right]^\prime } }
= {\frac{1}{3}\pi {R^3}{\left[ {{{\cos }^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right)} \right]^\prime } }
= {\frac{1}{3}\pi {R^3}\left[ {2\cos \alpha \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) \cdot \left( {\sin \alpha + 1} \right) + {{\cos }^2}\alpha \cdot \cos \alpha } \right] }
= {\frac{1}{3}\pi {R^3}\cos \alpha \left[ {{{\cos }^2}\alpha - 2{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha } \right];}
\]
\[
{V'\left( \alpha \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{1}{3}\pi {R^3}\cos \alpha \left[ {{{\cos }^2}\alpha - 2{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha } \right] = 0.}
\]
\(\cos \alpha = 0,\;\; \Rightarrow \alpha = \large\frac{\pi }{2}\normalsize;\)
\(
{{\cos ^2}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha = 0,}\;\;
{\Rightarrow 1 - 3{\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha = 0,}\;\;
{\Rightarrow 3{\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha - 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow \sin \alpha = t,}\;\;
{\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\;
{\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 16,}\;\;
{\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6};}\;\;
\)
\[{t_1} = - 1,\;\; \Rightarrow \sin\alpha = - 1,\;\; \Rightarrow \;\;\alpha = \frac{{3\pi }}{2},\]
\[{t_2} = \frac{1}{3},\;\; \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{3}.\]
Как видно, решением является \(\sin \alpha = \large\frac{1}{3}\normalsize.\) Можно убедиться, что при возрастании угла \(\alpha\)
и переходе через данную точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. здесь достигается максимальное значение объема конуса.
Вычислим косинус угла \(\alpha:\)
\[
{\cos\alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} }
= {\sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.}
\]
Тогда радиус основания и высота конуса наибольшего объема имеют такие значения:
\[r = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}R,\;\;\;H = R \cdot \frac{1}{3} + R = \frac{4}{3}R.\]
Объем такого конуса равен
\[
{V = \frac{1}{3}\pi {r^2}H }
= {\frac{\pi }{3} \cdot {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} \cdot \frac{4}{3}R }
= {\frac{\pi }{3} \cdot \frac{8}{9}{R^2} \cdot \frac{4}{3}R }
= {\frac{{32}}{{81}}\pi {R^3}.}
\]
что составляет \(\large\frac{{8}}{{27}}\normalsize\) от объема шара.