Скалярное произведение векторов

Векторы: u, v, w

Модуль вектора: |u|, |v|

Нулевой вектор: 0

Единичные векторы: i, j, k

Угол между векторами: θ

Координаты векторов: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2

Действительные числа: λ, μ

Скалярным произведением векторов u и v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

uv=|u||v|cosθ

скалярное произведение векторов

Скалярное произведение в координатной форме
Если  u=(X1,Y1,Z1), v=(X2,Y2,Z2), то uv=X1X2+Y1Y2+Z1Z2.

Угол между двумя векторами
Если  u=(X1,Y1,Z1), v=(X2,Y2,Z2), то cosθ=uv|u||v|=X1X2+Y1Y2+Z1Z2X21+Y21+Z21X22+Y22+Z22.
Здесь предполагается, что векторы u и v являются ненулевыми.

Коммутативность скалярного произведения  
uu=vu

Ассоциативность скалярного произведения  
(λu)(μv)=λμuv

Дистрибутивность скалярного произведения  
u(v+w)=uv+uw

Скалярное произведение векторов равно нулю:

Скалярное произведение векторов u и v равно нулю, если векторы u и v перпендикулярны, или если вектор u или v или оба вектора являются нулевыми.
uv=0,  если  uv(θ=π2),  или  u=0  и/или  v=0.

Скалярное произведение векторов положительно:

Скалярное произведение векторов u и v положительно, если угол θ между векторами u и v острый.
uv>0,  если  0<θ<π2.

Скалярное произведение векторов отрицательно:

Скалярное произведение векторов u и v отрицательно, если угол θ между векторами u и v тупой.
uv<0,  если  π2<θ<π.

Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
uv|u||v|

Скалярное произведение векторов u и v равно произведения их модулей, если только векторы u и v параллельны:
uv=|u||v|,  если  uv(θ=0).

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
Если  u=(X1,Y1,Z1),  то  uu=u2=|u|2=X21+Y21+Z21.

Скалярные квадраты единичных координатных векторов  
ii=jj=kk=1

Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов  
ij=jk=ki=0

Читать по теме
Интересные статьи