Скалярное произведение векторов
Векторы: →u, →v, →w
Модуль вектора: |→u|, |→v|
Нулевой вектор: →0
Единичные векторы: →i, →j, →k
Угол между векторами: θ
Координаты векторов: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2
Действительные числа: λ, μ
Скалярным произведением векторов →u и →v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
→u⋅→v=|→u|⋅|→v|⋅cosθ
Скалярное произведение в координатной форме
Если →u=(X1,Y1,Z1), →v=(X2,Y2,Z2), то
→u⋅→v=X1X2+Y1Y2+Z1Z2.
Угол между двумя векторами
Если →u=(X1,Y1,Z1), →v=(X2,Y2,Z2), то
cosθ=→u⋅→v|→u|⋅|→v|=X1X2+Y1Y2+Z1Z2√X21+Y21+Z21√X22+Y22+Z22.
Здесь предполагается, что векторы →u и →v являются ненулевыми.
Коммутативность скалярного произведения
→u⋅→u=→v⋅→u
Ассоциативность скалярного произведения
(λ→u)⋅(μ→v)=λμ→u⋅→v
Дистрибутивность скалярного произведения
→u⋅(→v+→w)=→u⋅→v+→u⋅→w
Скалярное произведение векторов равно нулю:
Скалярное произведение векторов →u и →v равно нулю,
если векторы →u и →v перпендикулярны, или если вектор →u или →v
или оба вектора являются нулевыми.
→u⋅→v=0, если →u⊥→v(θ=π2),
или →u=→0 и/или →v=→0.
Скалярное произведение векторов положительно:
Скалярное произведение векторов →u и →v положительно,
если угол θ между векторами →u и →v острый.
→u⋅→v>0, если 0<θ<π2.
Скалярное произведение векторов отрицательно:
Скалярное произведение векторов →u и →v отрицательно,
если угол θ между векторами →u и →v тупой.
→u⋅→v<0, если π2<θ<π.
Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
→u⋅→v≤|→u|⋅|→v|
Скалярное произведение векторов →u и →v равно произведения их модулей, если только
векторы →u и →v параллельны:
→u⋅→v=|→u|⋅|→v|, если
→u∥→v(θ=0).
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
Если →u=(X1,Y1,Z1), то
→u⋅→u=→u2=|→u|2=X21+Y21+Z21.
Скалярные квадраты единичных координатных векторов
→i⋅→i=→j⋅→j=→k⋅→k=1
Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов
→i⋅→j=→j⋅→k=→k⋅→i=0