• Главная
• Справочник
• Законы
• Закон Гука

Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

$$\LARGE F = kx$$

Векторная формулировка закона Гука включает знак "минус", который говорит о том, что вектор деформации x всегда направлен противоположно силе упругости F:

$$\LARGE F = -kx$$

Здесь $F$ — сила растяжения или сжатия, $x$ — абсолютное удлинение или сжатие, а $k$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

ВАЖНО Закон Гука справедлив только для упруго деформированных материалов.

Красная линия на графике отображает изменение силы (F) в зависимости от положения в согласованности с законом Гука. Наклон соответствует постоянной пружины (k). Пунктирная линия — вид фактического графика силы. Изображения состояний пружины в нижней части отвечают некоторым точкам на графике (средняя — расслабленность)

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$$F = k \Delta l$$

Здесь $F$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, $\Delta l$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а $k$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как:

$$k = \dfrac{ES}{L}$$

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

$$\varepsilon = \dfrac{\Delta l}{L}$$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$$\sigma = \dfrac {F}{S}$$

то закон Гука в относительных единицах запишется как

$$\sigma = E\varepsilon$$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

$$\Delta l = \dfrac{FL} {ES}$$

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.