Натуральные степени некоторых чисел

Степенью с натуральным показателем называется выражение вида:

aⁿ

где

a — действительное число;
n — натуральное число.

Степень числа a с натуральным показателем n равна числу a, n раз умноженному на себя:

aⁿ = a * a * a * … (n раз)

Важно! Обратите внимание, когда мы говорим о степени с натуральным показателем, то именно показатель является натуральным числом.Основание же степени может быть любым действительным числом.

Чаще всего на практике встречаются степени чисел 2 и 10. Степени двойки распространены в компьютерной технике, а степени десятки, например, в физике.

Приведем таблицу натуральных степеней двойки до 10000:

2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
2⁸ = 256
2⁹ = 512
2¹⁰ =1024
2¹¹ = 2048
2¹² = 4096
2¹³ = 8192

Если мы сделаем то же самое с десяткой то получим:

10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁴ = 10000

Обратите внимание, что по-сути показатель степени указывает, сколько нулей будет после единицы. Поэтому при возведении числа 10 в какую-то бы ни было натуральную степень можно не выполнять умножения, а просто дописать после числа 1 количество нулей, равное показателю степени.

Возведении двойки в степень также зачастую вычисления можно выполнять в уме, т. к. каждая последующая степень числа отличается от предыдущего умножением на 2, что обычно легко выполнить. Например, если нам дано 28 и мы не помним, сколько это будет, то можно сделать так:
2⁸ = 2⁷ * 2 = 128 * 2 = 256
или
2⁸ = 2⁶ * 2 * 2 = 6⁴ * 2 * 2 = 256
и так далее.

Следует особо оговорить натуральные степени чисел –1, 0 и 1. Ноль всегда будет равен 0, а единица — единице:
0² = 0, 0¹⁰ = 0, …
1² = 1, 1⁵ = 1, 1¹⁰ = 1, …

Это и понятно, сколько единицу саму на себя не умножай, она всегда останется единицей. С нулем похожая история — если среди множителей есть хотя бы один ноль, то все произведение равно нулю. А мы имеем вообще произведение одних нулей.

Степени числа –1 по модулю, как и в случае единицы, всегда равны 1. А вот знак результата зависит от четности показателя степени:
–1² = 1, –1³ = –1, …

Но эта закономерность распространяется на все числа. Если отрицательное число возводится в четную степень, то результат положителен, если в нечетную, то отрицателен.

Приведем таблицы степеней еще некоторых чисел:

3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243, 3⁶ = 729, 3⁷ = 2187, 3⁸ = 6561
4¹ = 4, 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = 256, 4⁵ = 1024, 4⁶ = 4096
5¹ = 5, 5² = 25, 5³ = 125, 5⁴ = 625, 5⁵ = 3125
6¹ = 6, 6² = 36, 6³ = 216, 6⁴ = 1296, 6⁵ = 7776
7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401
8¹ = 8, 8² = 64, 8³ = 512, 8⁴ = 4096
9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729, 9⁴ = 6561

Обратите внимание, что степени числа 4 имеют такие же значения как каждая вторая степень числа 2. Учитывая, что 2² = 4, это можно понять.

Числа Математика Алгебра Теория