• Главная
• Справочник
• Законы
• Законы классической механики
• Закон сложения скоростей

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение.

Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона

Преобразование координат и времени

Закон сложения скоростей является следствием преобразований координат и времени.

Пусть частица в момент времени t’ находится в точке (x’, y’, z’), а через малое время Δt’ в точке (x’ + Δx’, y’ + Δy’, z’ + Δz’) системы отсчета K’. Это два события в истории дви­жущейся частицы. Имеем:

Δx’ = v_x’Δt’,

где
v_x’ — x-я компонента скорости частицы в системе K’.

Аналогичные соотношения имеют место для остальных компонент.

Разности координат и промежутки времени (Δx, Δy, Δz, Δt) преобразуются так же, как координаты:

Δx = Δx’ + VΔt’,

Δy = Δу’,

Δz = Δz’,

Δt = Δt’.

Отсюда следует, что скорость той же частицы в системе K будет иметь компоненты:

v_x = Δx / Δt = (Δx’ + VΔt’) / Δt = v_x’ + V,

v_y = v_y’,

v_z = v_z’.

Это закон сложения скоростей. Его можно выразить в векторной форме:

v̅ = v̅’ + V

(координатные оси в системах K и K’ параллельны).

Закон сложения скоростей

Если тело движется относительно системы отсчета К₁ со скоростью V₁, а сама система отсчета К₁ движется относительно другой системы отсчета К₂ со скоростью V, то скорость тела (V₂) относительно второй системы отсчета К₂ равна геометрической сумме векторов V₁ и V.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

\( \vec{V_2} = \vec{V_1} + \vec{V} \)

где всегда
К₂ - неподвижная система отсчета
V₂ - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (К₂)

К₁ - подвижная система отсчета
V₁ - скорость тела относительно подвижной системы отсчета (К₁)

V - скорость подвижной системы отсчета (К₁) относительно неподвижной системы отсчета (К₂)

Закон сложения ускорений для поступательного движения

При поступательном движении тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной, вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения) и вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}\]

В общем случае, когда движение материальной точки (тела) является криволинейным, его в каждый момент времени можно представить как комбинацию поступательного движения материальной точки (тела) относительно подвижной системы отсчёта со скоростью \( {\overrightarrow{v}}_r \), и вращательного движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной с угловой скоростью \( {\overrightarrow{\omega }}_e \). В этом случае, при сложении ускорений, наряду с относительным и переносным ускорением необходимо учитывать и ускорение Кориолиса \( a_c=2{\overrightarrow{\omega }}_e\times {\overrightarrow{v}}_r \), которое характеризует изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.

Теорема Кориолиса

Вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта \( \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС} \) (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета \( {\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН} \) (относительного ускорения), вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной \( {\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР} \) (переносного ускорения), и кориолисова ускорения \( a_c=2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r={\overrightarrow{a}}_{КОР} \):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}+{\overrightarrow{a}}_{КОР}\]

Абсолютное перемещение равно сумме относительного и переносного перемещений.

Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно сумме перемещений: тела в подвижной системе отсчета и самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.